Игорь Александрович Грушко родился 9 августа 1912 года в г. Ростове. До 1929 г. учился в средней школе, затем два года работал на различных предприятиях г. Ростова. 1 августа 1931 г. поступил на факультет математики и механики на специальность «Математика» Ленинградского государственного университета им. А.С. Бубкова. В ноябре 1936 г. окончил ЛГУ, получив квалификацию научного работника 11 разряда в области математики и преподавателя вуза и втуза, а также преподавателя техникумов, рабфаков и старших классов средней школы.

После окончания университета был направлен в аспирантуру при ЛГУ по специальности «Высшая алгебра» и обучался там с сентября 1937 до июня 1940 г.

14 июня 1940 г. в Ленинградском госуниверситете защитил кандидатскую диссертацию на тему «О базисах свободного произведения групп». 20 июня 1940 г. Ученым советом Ленинградского государственного университета был утвержден в степени кандидата физико-математических наук.

В декабре 1940 г. был направлен по путевке Наркомпроса в Молотовский университет в должности доцента по кафедре высшей алгебры. 10 июня 1941 г. Высшей аттестационной комиссией Всесоюзного комитета по делам высшей школы при СНК СССР утвержден в ученом звании доцента по кафедре высшей алгебры.

Со 2-го семестра 1940-1941 учебного года И.А.Грушко работал в Молотовском государственном университете им. А.М. Горького в должности и.о. заведующего кафедрой высшей алгебры. Вел лекционные курсы «Высшая алгебра», «Теория чисел», спецкурс «Теория Галуа» на 4 курсе физико-математического факультета.

Приказом №85 от 24 июня 1941 г. по Молотовскому государственному университету им. А.М. Горького И.А. Грушко отчислен из состава работников Молотовского государственного университета ввиду призыва в Рабоче-крестьянскую Красную армию. Вскоре после призыва в армию И.А. Грушко погиб.